WarmFires.ru

2. М Е Т О Д И К А П О Д Г О Т О В К И И Р Е Ш Е Н И Я

З А Д А Ч И Н А Э В М

Решение задачи на ЭВМ включает в себя следующие основные

этапы[6]:

1. Постановка задачи, разработка математической модели.

2. Выбор метода численного решения.

3. Разработка алгоритма и структуры данных.

4. Написание программы и подготовка ее к вводу в ЭВМ.

5. Тестирование и отладка программы.

6. Решение задачи на ЭВМ, обработка и оформление результата

Методику подготовки и решения задач рассмотрим на конкретном примере расчета температурного поля в поперечном сечении элемента конструкции энергетического оборудования.

Пусть имеется длинная металлическая балка, являющаяся элементом конструкции энергетического оборудования. Поперечное сечение балки представлено на рис.3. Балка изготовлена из материала, имеющего коэффициент теплопроводности lamda. Верхняя поверхность имеет температуру Тa, нижняя -Тb. Одна боковая поверхность омывается воздухом с температурой Тc, а другая теплоизолирована. Коэффициент теплоотдачи от воздуха к боковой поверхности alfa1. Полость балки омывается жидкостью с температурой Td. Средний коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенкам alfa2. Составить программу на языке Паскаль для расчета стационарного температурного поля в 20 узлах поперечного сечения балки.

2.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и, р а з р а б о т к а

м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и

Постановка задачи связана с точным описанием исходных данных, условий задачи и целей ее решения. Этап разработки математической постановки называют также этапом формализации задачи. На этом этапе многие из условий задачи, заданные в форме различных словесных описаний, необходимо выразить на точном (формальном) языке математики. Полученная на этапе формализации новая задача называется м а т е м а т и ч е с к о й моделью исходной задачи. В результате инженерная задача приобретает вид формализованной математической задачи.

Рис.3. Поперечное сечение балки с нанесенной сеткой

Нанесем (рис.3) на рассматриваемое тело сетку с квадратными ячейками. Пронумеруем все углы с неизвестными температурами. Температуры в узлах верхней и нижней поверхностей равняются соответственно значениям Тa и Тb , а поэтому на рис.3 не показаны. Разностные уравнения для граничных узлов 6, 9, 11, 13, 20 можно выбрать по рассмотренным выше уравнениям. Система из 20 уравнений баланса энергии запишется следующим образом:

узел 1: T[2]+0,5*(T[7]+Tb)+Bi1*Tc - (2 + Bi1)*T[1] = 0,

где Bi1 = alfa1* x/lamda ;

узел 2: T[1]+T[3]+T[8]+Tb - 4*T[0] = 0 ;

узел 3: T[2]+0,5*(T[9]+Tb)+Bi2*Td - (2+Bi2)*T[3] = 0,

где Bi2 = alfa2* x/lamda ;

узел 4: T[5]+0,5*(T[11]+Tb)+Bi2*Td - (2+Bi2)*T[4] = 0;

узел 5: T[4]+T[6]+T[12]+Tb - 4T[5] = 0 ;

узел 6: T[5]+0,5*(T[13]+Tb) - 2T[6] = 0 ;

узел 7: T[8]+0,5*(T[1]+T[14])+Bi1*Tc - (2+Bi1)*T[7]=0;

узел 8: T[7]+T[9]+T[2]+T[15] - 4*T[8] = 0 ;

узел 9: T[8]+T[16]+0,5*(T[3]+T[10])+Bi2*Td-(3 + Bi2)*T[9]=0;

узел 10: T[17]+0,5*(T[9]+T[11])+Bi2*Td-(2+Bi2)*T[10] = 0 ;

узел 11: T[12]+T[18]+0,5*(T[4]+T[10])+Bi2*Td-(3+Bi2)*T[11]=0 ;

узел 12: T[5]+T[11]+T[13]+T[19] - 4*T[12] = 0 ;

узел 13: T[12]+0,5*(T[6]+T[20]) - 2*T[13] = 0 ;

узел 14: T[15]+0.5*(T[7]+Ta)+Bi1*Tc - (2+Bi1)T[14] = 0;

узел 15: T[8]+T[14]+Ta+T[16] - 4T[15] = 0 ;

узел 16: T[9]+T[15]+Ta+T[17] - 4T[16] = 0 ;

узел 17: T[10]+T[16]+Ta+T[18] - 4T[17] = 0 ; (15)

узел 18: T[11]+T[17]+Ta+T[19] - 4T[18] = 0 ;

узел 19: T[12]+T[16]+T[20]+Ta - 4*T[19] = 0 ;

узел 20: T[19]+0,5*(T[13]+Ta) - 2*T[20] = 0 .

Окончательный вид системы уравнений для нахождения значений температуры в 20 узлах рассматриваемой задачи должен быть выбран в зависимости от метода решения.

В результате применения метода конечных разностей получили 20 алгебраических уравнений для 20 узлов в твердом теле. Эта система уравнений заменяет уравнение(3) в частных производных с соответствующими граничными условиями. Решение полученной системы уравнений позволяет найти распределение температуры в узлах твердого тела.

2.2. В ы б о р м е т о д а ч и с л е н н о г о

р е ш е н и я

Выбор метода решения задачи требует знания соответствующих разделов математики. Выбранный метод должен обеспечить представление вычислительного процесса в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций. Если ни один из методов не подходит для решения поставленной задачи, возникает необходимость разработки нового метода.

Задачи, связанные с решением системы линейных алгебраических уравнений, базируются на прямых и итерационных методах. Прямые методы решения основаны на приведении системы уравнений к "треугольному" виду {методы Гаусса, Гаусса - Жордана, Холесского и др.}. Итерационные методы - на выражении неизвестных температур в левые части соответствующих уравнений системы {методы Якоби, Зейделя и др.}.